题解 P2766 【最长不下降子序列问题】

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$Description$

给定正整数序列$a_1,a_2,\cdots ,a_n$。

$1.$计算其最长不下降子序列的长度$s$。

$2.$计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为$s$的不下降子序列。

$3.$如果允许在取出的序列中多次使用$x_1$和$x_n$，则从给定序列中最多可取出多少个长度为$s$的不下降子序列。

$Solution$

首先动态规划求出$f_{i}$，表示以第$i$位为开头的最长不下降子序列的长度，求出最长不下降子序列长度$W$。

把序列每位$i$拆成两个点$i_1$和$i_2$，从$i_1~$到$i_2~$连接一条容量为$1$的边。

如果序列第$i$位有$f_{i}=W$，从$s$到$i_{1}~$连接一条容量为$1$的有向边。

如果$f_i=1$，从$i_2~$到$~t~$连接一条容量为1的有向边。

如果$j>i$且$a_i<a_j$且$f_j+1=f_i$，从$i_2~$到$j_1~$连接一条容量为$1$的有向边。

第二问直接求最大流即可

对于第三问,要求$a_1$和$a_n$可以重复使用，只需取消这两个点相关边的流量限制即可，具体操作只需把$(1_1,1_2)(n_1,n_2)(s,1_1)(n_2,t)$四条边权值改成$inf$,再跑最大流即可

$Code$

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#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 50000
using namespace std;
struct node{
    int dis,to,next;
}e[1000055];
inline int read(){
    int x=0,w=0;char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while (isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?-x:x;
}
int res,w[N],f[N],ans,cnt=1,head[N],dep[N],inque[N],cur[N],n,m,s,t;
inline void add(int u,int v,int d){
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].dis=d;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
    e[++cnt].to=u;
    e[cnt].dis=0;
    e[cnt].next=head[v];
    head[v]=cnt;
}
bool bfs(){
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    queue<int>q;q.push(s);
    dep[s]=1;
    while (!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();inque[u]=0;
        for (int i=head[u];i;i=e[i].next){
            int v=e[i].to;
            if (e[i].dis&&!dep[v]){
                dep[v]=dep[u]+1;
                if (!inque[v])
                    q.push(v),inque[v]=1;
            }
        }
    }
    return dep[t];
}
int dfs(int u,int mn){
    if (u==t)return mn;
    int used=0,mi;
    for (int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if (e[i].dis&&dep[v]==dep[u]+1)
            if (mi=dfs(v,min(e[i].dis,mn-used))){
                e[i].dis-=mi;
                e[i^1].dis+=mi;
                used+=mi;
                if (used==mn)break;
            }
    }
    return used;
}
int Dinic(){
    while (bfs()){
        for (int i=s;i<=t;++i)cur[i]=head[i];
        res+=dfs(s,inf);
    }
    return res;
}
signed main(){
    n=read(),s=0,t=n+n+1;
    for (int i=1;i<=n;++i)w[i]=read(),f[i]=1;ans=1;
    for (int i=n-1;i;--i)
        for (int j=i+1;j<=n;++j)
            if (w[j]>=w[i])
                ans=max(ans,f[i]=max(f[i],f[j]+1));
    printf("%d\n",ans);
    if (ans==1){printf("%d\n%d\n",n,n);return 0;}
    for (int i=1;i<=n;++i){
        add(i,i+n,1);
        if (f[i]==ans)add(s,i,1);
        if (f[i]==1)add(i+n,t,1);
        for (int j=i+1;j<=n;++j)
            if (f[j]+1==f[i]&&w[j]>=w[i])
                add(i+n,j,1);
    }
    printf("%d\n",Dinic());
    add(1,1+n,inf);add(n,n+n,inf);
    if (f[1]==ans)add(s,1,inf);
    if (f[1]==1)add(n+1,t,inf);
    if (f[n]==1)add(n+n,t,inf);
    printf("%d\n",Dinic());
}